Hola de nuevo Ingenieros, en el artículo anterior hablamos un poco sobre lo que son los sistemas, comenzamos con un aspecto general hasta la definición clara de como lo interpreta un ingeniero de control. Si no lo has leído aún, haz click aquí
Ahora vamos a hablar sobre sistemas de primer orden, en terminos simples, un sistema de primer orden no es más que un sistema que solo tiene un polo en su polinomio característico (denominador).
En las palabras más directas, su denominador es un polinomio de primer orden. Sin embargo, ¿qué significa eso?
Sabemos que el denominador polinomial de una función de transferencia representa la ecuación característica de un determinado sistema, esto es importante porque nos dice el número de polos y, por lo tanto, el orden de ese determinado sistema.
En el caso de sistemas de primer orden, tener un solo polo nos dice que estos son sistemas cuyo tiempo de establecimiento, así como su condición de estabilidad, están directamente asociados con la ubicación de ese unico polo, y esta condición los convierte en sistemas con un respuesta transitoria autorregulada.
¿Qué significa autorregulado? Esto implica que al percibir variaciones en su señal de entrada, la salida alcanzará un nuevo estado estable automáticamente. Para lograr una mejor comprensión de esto, hablemos sobre los tipos de sistemas de primer orden.
Aquí podrías estar pensando "¿pero qué tipos? ¿Estos sistemas no tienen un solo polo y ya están hechos?"
Y sí, lo hacen, pero el comportamiento de respuesta transitoria cambia con el término presentado en el numerador llamado cero del sistema.
Para ser claros, el sistema de primer orden SÓLO tiene el polinomio característico de primer orden en el denominador (con UN ÚNICO POLO) de su función de transferencia, pero los términos presentes en el numerador condicionarán la respuesta transitoria, veamos cómo.
Estos sistemas de primer orden son los más típicos y su representación se encuentra en casi todos los libros de teoría de control continuo, se caracterizan porque tienen una constante como numerador, que generalmente resulta ser la ganancia K. (ver eq.1)
Ahora vamos a hablar sobre sistemas de primer orden, en terminos simples, un sistema de primer orden no es más que un sistema que solo tiene un polo en su polinomio característico (denominador).
En las palabras más directas, su denominador es un polinomio de primer orden. Sin embargo, ¿qué significa eso?
Sabemos que el denominador polinomial de una función de transferencia representa la ecuación característica de un determinado sistema, esto es importante porque nos dice el número de polos y, por lo tanto, el orden de ese determinado sistema.
En el caso de sistemas de primer orden, tener un solo polo nos dice que estos son sistemas cuyo tiempo de establecimiento, así como su condición de estabilidad, están directamente asociados con la ubicación de ese unico polo, y esta condición los convierte en sistemas con un respuesta transitoria autorregulada.
¿Qué significa autorregulado? Esto implica que al percibir variaciones en su señal de entrada, la salida alcanzará un nuevo estado estable automáticamente. Para lograr una mejor comprensión de esto, hablemos sobre los tipos de sistemas de primer orden.
Aquí podrías estar pensando "¿pero qué tipos? ¿Estos sistemas no tienen un solo polo y ya están hechos?"
Y sí, lo hacen, pero el comportamiento de respuesta transitoria cambia con el término presentado en el numerador llamado cero del sistema.
Para ser claros, el sistema de primer orden SÓLO tiene el polinomio característico de primer orden en el denominador (con UN ÚNICO POLO) de su función de transferencia, pero los términos presentes en el numerador condicionarán la respuesta transitoria, veamos cómo.
a) Sistema de primer orden sin cero
Estos sistemas de primer orden son los más típicos y su representación se encuentra en casi todos los libros de teoría de control continuo, se caracterizan porque tienen una constante como numerador, que generalmente resulta ser la ganancia K. (ver eq.1)
(Eq. 1)
Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que coincide con la ganancia estática G (0) y la constante de tiempo.
La ganancia estática K puede tener cualquier signo; sin embargo, para que este sistema sea estable, debe cumplirse que t > 0.
Es probable que en este punto te hayas encontrado con esa condición en algún libro. Pero, ¿de dónde viene esta idea? ¿Por qué mi sistema sería estable si t > 0?
Bueno, hay un principio fundamental para la estabilidad de los sistemas, que dice que los polos deben estar ubicados en el semi plano izquierdo del plano S, para garantizar que el sistema sea estable.
Lo escribo en grande, "POLOS", como si te dijera en voz alta porque quiero dejar en claro que solo los polos pueden afectar directamente la estabilidad del sistema (en cualquier orden), y la nobleza de los sistemas de primer orden es que nos permiten verificar este principio más directamente.
En otras palabras, los ceros de un sistema no afectan la estabilidad de los sistemas, pero esto no significa que los ceros sean inútiles, ya que cambian la respuesta dinámica pero no la estabilidad.
Ahora, de vuelta a porqué t debería ser positivo para que un sistema de primer orden sea estable. Tomando el polinomio característico de la ecuación 1. (¡Sí, el denominador!) Si lo igualamos a cero, se descubre el polo único de este tipo de sistema (vea la ecuación 3)
(Eq. 2)
Aqui vemos que el unico polo es:
(Eq. 3)
Ahora veamos cómo se ve ese polo en el plano S (ver Fig. 1), pero ya sabemos a dónde va, hagamos la representación para no dejar dudas y hablemos de lo que realmente es.
Fig. 1: Polo de primer orden en el plano S
En la figura 1, la región sombreada corresponde al área que debemos evitar si queremos garantizar la estabilidad, pero podemos tratar ese tema con calma más adelante.
Por ahora, vemos que t condiciona el polo del sistema de primer orden y que es estable y está ubicado en el lado izquierdo del plano, para ello t siempre debe ser un término positivo en la ecuación característica.
Para hablar sobre lo que realmente es t, debemos considerar la respuesta transitoria de un sistema de primer orden ante una entrada de tipo escalon. Para esto, veamos la figura 2.
Fig. 2: Respuesta transitoria del sistema de primer orden ante entrada escalón.
En la figura 2, podemos ver lo que es, tal vez el término "constante de tiempo" se aparezca en tu memoria, y tambien es posible definirlo como el tiempo que tarda la señal de salida en alcanzar el 63% de su valor final.
Una vez más nos preguntamos: "¿Cómo es esto posible?" Para respondernos esto, verifiquemos la expresión matemática de la salida del sistema ante una entrada de tipo escalón . (ver ecuación 4)
Cuando aplicamos la transformada inversa de Laplace nos queda la ecuación 5.
Eq. 5
¿Lo has visto? de acuerdo con esto, sabemos que el argumento del término exponencial de la ecuación 5, es el polo presentado en la ecuación 3, con esto, puede tenemos que t (Tao) puede interpretarse como la tasa de cambio inicial del sistema.
Gracias a esto, puede considerarse como una especificación de la respuesta transitoria en un sistema de primer orden, ya que está relacionada con la velocidad a la que el sistema responde a una señal de entrada de tipo escalón.
También es posible evaluar la constante de tiempo a partir del gráfico de su polo (ver Fig. 1), ya que la ubicación de su coordenada será recíproca al valor de Tao, por lo tanto, cuanto más lejos esté el polo del eje imaginario, entonces más rápido será la señal transitoria.
Muy bien, esto es todo por hoy sobre sistemas de primer orden, en el próximo artículo voy a hablarles sobre: sistema de primer orden con cero nulo y sistema de primer orden sin cero nulo.
Si tienes alguna pregunta o idea para compartir, escribeme tus comentarios y sígueme en mis redes sociales.
¡Nos leemos pronto!
Gracias a esto, puede considerarse como una especificación de la respuesta transitoria en un sistema de primer orden, ya que está relacionada con la velocidad a la que el sistema responde a una señal de entrada de tipo escalón.
También es posible evaluar la constante de tiempo a partir del gráfico de su polo (ver Fig. 1), ya que la ubicación de su coordenada será recíproca al valor de Tao, por lo tanto, cuanto más lejos esté el polo del eje imaginario, entonces más rápido será la señal transitoria.
Muy bien, esto es todo por hoy sobre sistemas de primer orden, en el próximo artículo voy a hablarles sobre: sistema de primer orden con cero nulo y sistema de primer orden sin cero nulo.
Si tienes alguna pregunta o idea para compartir, escribeme tus comentarios y sígueme en mis redes sociales.
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